Die Philosophie der formalen Gruppengesetzen der elliptischen Kurve

Ich lerne Deutsch. Bitte, vergizieh mir und meine Unwissenheit der deutschen Grammatik.

In der Studie von Gruppen mit topogischen Struktur, wir haben die globale Objekt (die Gruppe) mit eine lokalen Objekt (die infinitesimale Gruppe) ersetzen. Wir betrachten dieses Spiel folgt vor:

  1. Wir beginnen mit eine Raum.
  2. Wir definieren einem binäre Operation an der Menge von Punkten in diesem Raum (einem Operation ist kommutativ, assoziativ, unital, und hat Inversen)
  3. Wir leiten eine infinitesimale Gruppe.

z.B. Von Lie-Gruppe (Gruppe internen in die Kategorie der glatten Mannigfaltigkeiten) nach eine Lie-Algebra (Gruppen internen in die Kategorie der unendlich Mannigfaltigkeiten).

  1. Wir beginnen mit einer glatten Mannigfaltigkeit (von Geschlect 0 oder 1).
  2. Wir ein Produkt Morphismus definieren (Lie-Gruppe).
  3. Wir leiten eine infinitesimale Gruppe  (Lie-Algebra).

Wir können eine formelle Gruppengesetz der Dimension $n$ konstruieren (aus jeder algebraischen Gruppe oder Lie-Gruppe der Dimension $n$) nehmen Koordinaten am Identität; formalen Potenzreihenentwicklung der Produktkarte schreiben. Die Konstruktion eine Lie-Algebra ist genau dieser Prozess nach dem ersten unendlich abgeschnitten.

Wir konstrueiren unsere formalen Gruppengesetzen ebenso. Die Kurve an der “0” sektion formelle vervollständigen! Meine erster Interpretation der Beduetung des Wendung “die Kurve an der “0” sektion formelle vervollständigen”  war “Taylorreihe der Kurve an der Identität entwicklungen.”

In diesem Beitrag, werden wir through ein weiteres Beispiel: aus dem Land der Gruppenstruktur der elliptischen Kurve… in das Land der formalen Gruppengesetzen der elliptische Kurve zu Fuß. Wir denken einen Schema als ein Raum mit extra Struktur.

  1. Wir beginnen mit eine elliptischen Kurve.
  2. Eine elliptische Kurve ist natürlich ein Gruppenschema — kommt mit einem (kommutativ und assoziativ) binäre Operation und einer markierten Punkt kostenlos.
  3. Die Kurve an der Identität formelle vervollständigen (Taylorreihe der Additionkarte).

Warum tun wir formelle Vervollständigung kümmern? Wir sind auf eine algebraischen Version der Lie-Algebra suchen!

In differenzierbar Lie-Theorie, die Baker-Campbell-Hausdorff-Theorem beschreibt die Gruppengesetz in einem kleinen Viertel der Identität. Aber, die Baker-Campbell-Hausdorff-Theorem beruht auf die Exponentiellekarte. Auch in eine Potenzriehe, die Exponentiellekarte macht keinen Sinn in Charakteristik $p$! Aaron Mazel-Gee schreibe eine groß Papier derüber.

Dein rechtfertig unsere edlen Streben: beschreiben die Gruppengesetz in einem kleinen Viertel  an der Identität die Kurve! Bertrachten wir der elliptischen Kurve $E$ über $\text{Spec } A$.

$\text{Spec } A[t]/t^2$ ist die erste infinitesimale nachbarschaft des  $\text{Spec } A$.

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Wir brauchen eine größere infinitesimale Nachbarsaft für die zweite Ableitung… und $\text{Spec } A[t]/t^3$ erzählt von die zweite Ableitung! (Darüber nachdenken; wir trunkatten alles der Informationen nach der zweite Ableitung in das Taylorriehe.)

Im Fall von die formalen Gruppengezetsen, aufschrieben wollen wir die gesamte Riehe (alles von die Infinitesimalen), also wir nehmen die colimit von $\text{Spec } A[t]/t^n$.

Warum?! Warum tun wir diese Definition der formallen Schemata kümmern?  Wir sind auf einer algebraischen Version von “röhrenförmig Nachbarschaften” suchen — wenn man bedenkt den formellen Vervollständigungen eines Untervarietät in der Umgebungs Vielfalt.

Randnotiz: “formallen” Kategorien Studie Phänomene an jedem infinitesimalen Nachbarschaft, aber nicht unbedingt auf einer algebraischen Nachbarschaft.

Danke Achim Krause (zur Erläuterung der Knochen der Konstruktion der formalen Gruppengesetz der elliptischen Kurve) und Jesse Silverman (für die Diskussion von Grundlagen der formellen Schemeta und formellen Vervollständigungen). Alle Störungen sind mir nicht ihre.

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