Coded in desperation to test the conjecture for 3 & 4 dimensions. Conditional programming is cool! helper.scala autogenerated the legal 4cycles.

Dependency: Download the SWI-prolog package

sudo apt-get prolog

This can be run in the prolog console:

swipl -s square.pl

with the following commands.

findall([A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L], cube(A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L), List), length(List, Len).
findall([E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7, E8, E9, E10, E11, E12, E13, E14, E15, E16, E17, E18, E19, E20, E21, E22, E23, E24, E25, E26, E27, E28, E29, E30, E31, E32], dim4(E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7, E8, E9, E10, E11, E12, E13, E14, E15, E16, E17, E18, E19, E20, E21, E22, E23, E24, E25, E26, E27, E28, E29, E30, E31, E32), List), length(List, Zen).
findall([E0000e, E0001e, E000e0, E000e1, E0010e, E0011e, E001e0, E001e1, E00e00, E00e01, E00e10, E00e11, E0100e, E0101e, E010e0, E010e1, E0110e, E0111e, E011e0, E011e1, E01e00, E01e01, E01e10, E01e11, E0e000, E0e001, E0e010, E0e011, E0e100, E0e101, E0e110, E0e111, E1000e, E1001e, E100e0, E100e1, E1010e, E1011e, E101e0, E101e1, E10e00, E10e01, E10e10, E10e11, E1100e, E1101e, E110e0, E110e1, E1110e, E1111e, E111e0, E111e1, E11e00, E11e01, E11e10, E11e11, E1e000, E1e001, E1e010, E1e011, E1e100, E1e101, E1e110, E1e111, Ee0000, Ee0001, Ee0010, Ee0011, Ee0100, Ee0101, Ee0110, Ee0111, Ee1000, Ee1001, Ee1010, Ee1011, Ee1100, Ee1101, Ee1110, Ee1111], dim5(E0000e, E0001e, E000e0, E000e1, E0010e, E0011e, E001e0, E001e1, E00e00, E00e01, E00e10, E00e11, E0100e, E0101e, E010e0, E010e1, E0110e, E0111e, E011e0, E011e1, E01e00, E01e01, E01e10, E01e11, E0e000, E0e001, E0e010, E0e011, E0e100, E0e101, E0e110, E0e111, E1000e, E1001e, E100e0, E100e1, E1010e, E1011e, E101e0, E101e1, E10e00, E10e01, E10e10, E10e11, E1100e, E1101e, E110e0, E110e1, E1110e, E1111e, E111e0, E111e1, E11e00, E11e01, E11e10, E11e11, E1e000, E1e001, E1e010, E1e011, E1e100, E1e101, E1e110, E1e111, Ee0000, Ee0001, Ee0010, Ee0011, Ee0100, Ee0101, Ee0110, Ee0111, Ee1000, Ee1001, Ee1010, Ee1011, Ee1100, Ee1101, Ee1110, Ee1111), List), length(List, Zen).

%Edges can be either 0 or 1
color(0).
color(1).
even(N) :-
0 is N mod 2.
odd(N) :-
1 is N mod 2.
even(A, B) :-
0 is A mod 2,
0 is B mod 2.
evenSum(A, B, C, D) :-
Sum = A + B + C + D,
even(Sum).
oddSum(A, B, C, D) :-
Sum = A + B + C + D,
odd(Sum).
%Check that the sum of the edges of a 4-cycle is odd
square(E1, E2, E3, E4) :-
color(E1), color(E2), color(E3), color(E4), %seperates the statements that must be satisfied
oddSum(E1, E2, E3, E4).
%coordinates on the edge of the cube is a 3 tuple, (x,y,z) <=> Exyz
%Ee00, x = e, y = 0, z=0
%where e is a place holder for the slot that is changing, the other 2 slots are fixed
%Prolog is a declaritive language, thus we will generate the legal 4 cycles in our friend, Haskell.
cube(Ee00, E0e0, E00e,
Ee01, E0e1, E01e,
Ee10, E1e0, E10e,
Ee11, E1e1, E11e) :-
square(Ee00, E0e0, Ee10, E1e0),
square(E00e, E0e0, E01e, E0e1),
square(E10e, E11e, E1e0, E1e1),
square(Ee00, E00e, E10e, Ee01),
square(E01e, Ee10, E11e, Ee11),
square(Ee01, Ee11, E0e1, E1e1).
%Count the number of cubes:
%findall ([12 edges], cube(12 edges), list)
%name variables
name something that does things
%name where the elements go
%length(list name, length of list variable)
dim4(Ee110, E101e, E0e11, E00e1, E11e0, E11e1, E10e1, Ee010, E0e01, Ee100, Ee111, E00e0, E111e, E110e, E0e00, E011e, Ee101, Ee011, E001e, Ee000, E010e, E01e1, E100e, E1e00, E1e11, E000e, Ee001, E0e10, E10e0, E1e01, E1e10, E01e0) :-
square(E000e, E001e, E00e0, E00e1),
square(E0e00, E010e, E0e01, E000e),
square(E01e0, E0e00, E0e10, E00e0),
square(E100e, Ee001, Ee000, E000e),
square(Ee000, E00e0, E10e0, Ee010),
square(E0e00, E1e00, Ee000, Ee100),
square(E01e0, E010e, E011e, E01e1),
square(E001e, E0e10, E0e11, E011e),
square(E0e01, E00e1, E0e11, E01e1),
square(E101e, Ee011, E001e, Ee010),
square(Ee001, Ee011, E10e1, E00e1),
square(E1e01, E0e01, Ee001, Ee101),
square(E100e, E101e, E10e1, E10e0),
square(E100e, E1e01, E1e00, E110e),
square(E1e00, E10e0, E1e10, E11e0),
square(E010e, Ee101, E110e, Ee100),
square(E01e0, Ee110, Ee100, E11e0),
square(Ee110, E0e10, E1e10, Ee010),
square(E110e, E11e1, E11e0, E111e),
square(E101e, E1e11, E1e10, E111e),
square(E1e01, E1e11, E10e1, E11e1),
square(Ee110, Ee111, E111e, E011e),
square(Ee101, Ee111, E11e1, E01e1),
square(Ee011, E1e11, Ee111, E0e11).

The rest of this code is large amounts of vertices, extending this to higher dimensions: square.pl